Complex Number ဆိုသည်မှာ

Introduction to complex numbers

Complex Number ဆိုသည်မှာ ကိန်းစစ် (real) နှင့် စိတ်ကူးယဉ်ကိန်း (imaginary) အပိုင်းတို့ ပါဝင်သော ကိန်းဖြစ်သည်။ ၎င်းကို a + bi ဆိုသည့် ပုံစံဖြင့် ရေးသားနိုင်ပြီး a နှင့် b တို့မှာ real များ ဖြစ်ကြပြီး i မှာ သုံးနေကျ imaginary ၏ ယူနစ်ဖြစ်ပြီး i²= -1 ဆိုသည့် ဂုဏ်သတ္တိ ရှိသည်။ Complex Number တွင် သာမန်ကိန်းစစ်များ ပါဝင်ပြီး အခြားကိန်းအပိုများကို ထည့်သွင်းထားခြင်းဖြင့် ပေါင်းခြင်းနှင့် မြှောက်ခြင်းကို ချဲ့ထွင်ထားခြင်းပင် ဖြစ်သည်။

သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ အချို့ကိစ္စများတွင် ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေကို ရောက်ရှိလာသည်။ သာဓကပြရသော် အချို့သော polynomial equation များမှာ ကိန်းစစ်အဖြေမရှိပါ။ polynomial equation x²−1=0 ကို x အတွက်ဖြေရှင်းပါက 1 နှင့် −1 ဟူ၍ ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊
x²+1=0 ကို ဖြေရှင်းပါက ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ (real root) တစ်ခုမျှမရှိသည်ကို တွေ့ရမည်။ မည်သည့် ကိန်းစစ် x ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပြီးပါက x² ၏တန်ဖိုးမှာ အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ရာ တစ်သာထပ်ပေါင်းပါက ပေါင်းလဒ်မှာ သုညထက် အနည်းဆုံး တစ်ယူနစ်ပိုကြီးနေမည် ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့်
x²+1=0 သည် သုညနှင့် မည်သို့မှ ညီမည်မဟုတ်ပါ။) ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားနိုင်ရန် ကိန်းအသစ်များလိုအပ်လာသည်။ ထိုအခါ x²+1=0 ၏ real မဖြစ်နိုင်သော ကိန်းရင်း(imaginary) အဖြေတစ်ခုကို i ဟု သတ်မှတ်ကာ ၎င်းကို ကိန်းယောင်ယူနစ် (imaginary unit) ဟုခေါ်သည်။ ဖော်ပြပါ polynomial equation ကို ရှင်းပါက
x²=−1 ဟုထွက်ရာ i ကို −1 ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။ i သည် -1 ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်ပါက -i သည်လည်း -1 ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သတိပြုသင့်သည်။ အချုပ်ဆိုရသော် i ဆိုသည်မှာ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -1 ရသည့် ကိန်းသစ်တစ်ခုဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ မည်သည့်ကိန်းစစ်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -1 မရနိုင်ရာ i မှာ ကိန်းစစ်မဟုတ်သည့် ကိန်းအသစ်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။

ကိန်းယောင်ယူနစ်ကို အသုံးပြု၍ Complex number များကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။ Complex number တစ်ခု ဆိုသည်မှာ a+bi သဏ္ဌာန်ရှိသည့် ကိန်းတစ်ခုကို ဆိုသည်။ ဤတွင် a နှင့် b မှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။ သာဓက
2+3i,-2+(1/3)i,4-πi. Complex number -2+(1/3)i ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) မှာ -2 ဖြစ်ပြီး ကိန်းယောင်ပိုင်း (imaginary part) မှာ 1/3 ဖြစ်သည်။ ယေဘုယျဆိုရသော် Complex number a+bi ၏ real part မှာ a ဖြစ်၍၊ imaginary part မှာ b ဖြစ်သည်။ Complex number z ၏ကိန်းစစ်ပိုင်းကို Re(z)
ဖြင့်လည်းကောင်း၊ ကိန်းယောင်ပိုင်းကို Im(z)
ဖြင့်လည်းကောင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။ ဥပမာ
Re(-2+(1/3)i)=-2
Im(-2+(1/3)i)=1/3

Complex number အစုကို သင်္ကေတ ℂ သုံး၍ ရေးနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်တိုင်းသည် Complex number ဖြစ်သည်။ သာဓကဆိုရသော် ကိန်းစစ် 4 ကို 4+0i ဟူ၍ ရေးနိုင်သောကြောင့် ကိန်းစစ် 4 မှာ ကိန်းစစ်ပိုင်း 4 ရှိပြီး ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညရှိသည့် Complex number တစ်ခုဖြစ်သည်။ သို့သော် Complex number တိုင်း ကိန်းစစ်မဟုတ်ပါ။ ပို၍တိတိကျကျ ဆိုရသော် ကိန်းယောင်ပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် Complex number တိုင်းမှာ ကိန်းစစ်များ မဟုတ်ကြပါ။

မူပိုင် — ဆရာ Star Silver

Square root of minus oneဆိုတဲ့ ပုစ္ဆာဆိုတာ ၁၀တန်းအဆင့်ထိအဖြေမရှိပါဘူးတက္ကသိုလ်အဆင့်မှာအဲ့ပုစ္ဆာရဲ့ အဖြေရှိပါတယ် အဲ့တာကတော့ Complex number တွေဖြစ်ပါတယ် သ​ေ င်္ကတအနေနဲ့ J ပါ နောက်တမျိုး Imaginary Number လို့လည်းခေါ်ပါတယ် ကျနော်တို့ Engineer နယ်ပယ်မှာကျတော့ တိကျမှုအတွက်သုံးပါတဟ် လို့ထင်ပါတယ် သူတို့ကိုသုံးခြင်းဖြင့် Real life application တွေကိုပိုနားလည်စေနိင်ပါတယါ Control system design ဆွဲတဲ့အခါမျိုး engineer applicationတိုင်းလိုလိုကြုံရတတ်ပါတယ်

မူပိုင် — Aung Kaung Htet

သင်္ချာနယ်ပယ်မှာ real number ကိန်းစစ် နဲ့ imaginary number ကိန်းတု ဆိုပီး ရှိပါတယ် သင်္ချာနယ်ပယ်ကြီးတစ်ခုလုံးကိုစဉ်းစားရင် ကိန်းစစ်ပေါ်မှာပဲစဉ်းစားရင် မပြည့်စုံပါဘူး ဒါကြောင့် ကိန်းစစ်နဲ့ ကိန်းတုရောနေတဲ့ ရောထွေးကိန်းအစု The set of complex number ပေါ်မှာစဉ်းစားမှပြည့်စုံပါတယ်။ The set of real number is subset of the set of complex number.ပါ။

မူပိုင် — Tin Min Naing

ကျနော်သိထားသလောက်ကတော့ Electrical ပိုင်းဆိုင်ရာတွက်ချက်မှုမှာ complex numbers က အရေးကြီးပါတယ်။ အဲဒါသာမရှိခဲ့ရင် phase shift ဖြစ်တာတွေ၊ electro magnetic ပိုင်းတွေကိုတွက်ပြဖို့မလွယ်ပါဘူး။ မမြင်ရပေမယ့် ရှိနေတဲ့အရာတွေကိုသက်သေပြဖို့အတွက်သုံးထားတယ်လို့ထင်ပါတယ်။ ဒါကတော့လျှပ်စစ်ဘက်ကနေကြည့်တဲ့အမြင်ပါ။ တကယ့် သင်္ချာကတော့ မြင်တဲ့ရှု့ထောင့်အများကြီးပိုမြင့်ပါလိမ့်မယ်။

မူပိုင် — Alexander Htun